MAT303 - Introduction à la topologie et au calcul différentiel (GBX3MT33)

1. Topologie de l'espace euclidéen \matbb{R}^n

  • Produit scalaire canonique, distance associée.
  • Suites et convergence.
  • Topologie élémentaire. Ensembles ouverts et fermés
  • Compacité. Théorème de Borel-Heine.
  • Application continues et uniformément continues.
  • En complément pour le parcours L3A : normes sur des espaces vectoriels, équivalence des normes, exemples en dimension infinie.

2. Calcul différentiel

  • Dérivées directionnelles et dérivées partielles. Différentielle.
  • Gradient et matrice Jacobienne. Dérivation en chaîne.
  • Applications géométriques. 
  • Symétrie de la différentiabilité d’ordre supérieure. 
  • Plans tangents. 
  • Expansions de Taylor d'ordre 2.
  • Matrice Hessienne et optimisation de fonctions.
3. Courbes et surfaces en \mathbb{R}^n

  • Définition d'une courbe, paramétrisation.
  • Longueur d'une courbe, indépendence de la paramétrisation.
  • Points réguliers, tangents, vecteurs normaux.
  • Exemples de surfaces.