Année 2025-26
Jeudi 25 septembre, Rentrée du séminaire : exposé de Sara Checcoli (Institut Fourier, UGA) et discussion autour du programme de l'année.
Titre : Petits points... gros problèmes
Résumé : Qu’est-ce qu’un nombre algébrique ? C’est un nombre complexe qui est racine d’un polynôme non nul à coefficients rationnels.Parmi ces nombres, certains sont « plus simples » que d’autres sue le plan arithmétique. Pour quantifier cette idée, on utilise la hauteur, une fonction prenant des valeurs réelles non négatives. Le théorème de Kronecker nous permet de caractériser exactement les nombres algébriques de hauteur nulle : il s’agit de 0 et des racines de l’unité. Mais que dire des nombres dont la hauteur est petite, mais non nulle ? C’est là qu’apparaissent des questions encore largement ouvertes. On peut construire des suites de nombres algébriques dont la hauteur tend vers zéro, mais seulement au prix d’une croissance rapide de leurs degrés (où le degré d'un nombre algébrique est défini comme celui du polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont le nombre est racine). C’est précisément dans ce contexte que Lehmer, en 1933, a posé la question la plus célèbre : si l’on prend un nombre algébrique de hauteur non nulle, le produit de son degré par sa hauteur est-il toujours borné inférieurement par une constante positive indépendante du nombre choisi ? Cette question, connue sous le nom de problème de Lehmer, est encore ouverte dans le cas général. Dans cet exposé, je vous présenterai ce problème, ainsi que les idées essentielles derrière le meilleur résultat inconditionnel connu, dû à Dobrowolski.
Quelques lectures post séminaire :
- "Lecture notes in Diophantine Analysis" (2nd edition) par U. Zannier. EMS Series of Lectures in Mathematics. Volume: 36; 2024; 411 pp
- "Around the unit circle" par J. McKee and C. Smyth, Springer Universitext
Jeudi 16 octobre, Evelyne Miot (Institut Fourier, UGA & CNRS)
Titre : Dynamique des tourbillons dans les fluides
Résumé : Le but de cet exposé sera de présenter quelques aspects mathématiques de l'étude de la dynamique des tourbillons dans les fluides. En pratique, ces tourbillons ("vortex") sont fréquemment observés : ronds de fumée formés par les éruptions volcaniques, tourbillons issus des sillages des avions...
On introduira les équations d'Euler qui modélisent l'évolution de ces tourbillons, en se focalisant sur le cas de deux ou trois tourbillons ponctuels.
Jeudi 20 Novembre, Catriona Maclean (Institut Fourier, UGA)
Titre : Tores, courbes, et séries entières
Résumé : Une légende indienne parle de 6 aveugles qui doivent décrire l'éléphant qu'ils viennent de caresser. L'un pense avoir tâté un mur, l'autre un serpent, encore un autre un tronc d'arbre et ainsi de suite en fonction de la partie de l'animal qu'ils ont attrapée.
Dans cet exposé je parlerai de mon éléphant à moi qui au gré de son humeur du jour se présente comme :
* un réseau de C à homothétie complexe près
* une structure complexe sur un donut
* une courbe définie par une équation cubique.
Jeudi 18 décembre, Pie Day du Magistère
Exceptionnelement à la cafète de l'IF à partir de 16h15. Une vidéo avec quelques photos des créations (merci @Lila !) est disponible dans un onglet en bas de la page
Jeudi 29 janvier, Vincent Beffara (Institut Fourier, UGA & CNRS)
Titre : La marche aléatoire auto-évitante
Résumé : Sur le réseau $\mathbb Z^2$, on peut considérer l'ensemble de tous les chemins $(X_0=0,\ldots, X_n)$ de longueur $n$ issus de l'origine, il est très bien compris : son cardinal est $4^n$, et un élément pris dedans selon la loi uniforme correspond exactement à la trajectoire d'une marche aléatoire simple ; en particulier son diamètre est d'ordre $\sqrt{n}$ par le théorème central limite, et quand on fait tendre $n$ vers l'infini en faisant un zoom de facteur $n^{-1/2}$, on obtient la trajectoire d'un mouvement brownien.
Un chemin auto-évitant est un chemin $(X_0=0, \ldots, X_n)$ de longueur $n$, issu de l'origine, mais tel que tous les $X_i$ soient distincts. Les objets mathématiques dont je vais parler sont d'une part l'ensemble $\Omega_n$ de tous les chemins auto-évitants de longueur $n$ sur un réseau (pas forcement $\mathbb Z^2$), et d'autre part la marche aléatoire auto-évitante qui est un élément de $\Omega$ tiré selon la loi uniforme. C'est un bon résumé de l'état de l'art sur ces objets de dire qu'ils ne sont essentiellement pas compris du tout ! On sait que $|\Omega_n|$ croît exponentiellement comme $\mu^n$ mais on ne connaît pas la valeur de $\mu$, on ne sait même pas que $|\Omega_n|$ croît avec $n$ ... et on conjecture que le diamètre d'un élément typique de $\Omega_n$ est d'ordre $n^{3/4}$, mais on est loin de savoir le prouver.
Je ferai un tour d'horizon de ce qu'on sait prouver, de ce qu'on conjecture, de ce qu'on sait faire pour des modèles voisins, et des raisons pour lesquelles on s'intéresse à ces objets.
Jeudi 5 février, Marina Poulet (Institut Fourier, UGA)
Titre : De la théorie de Galois classique à la théorie de Galois différentielle
Jeudi 5 mars, Etienne Moutot (Institut Fourier, UGA & CNRS)
Titre : Modèles de calcul et problèmes indécidables
Résumé : Avec suffisamment de temps, est-ce qu'un ordinateur peut résoudre n'importe quel problème ?
Depuis les années 30, et notamment grâce aux travaux de Alonzo Church et Alan Turing, on sait que non: il existe des problèmes mathématiques dont la solution ne peut être trouvée algorithmiquement, quel que soit la puissance de l'ordinateur qu'on utilise ou le temps qu'on lui donne. On appelle ces problèmes des problèmes indécidables. Dans cet exposé, je présenterai une manière de formaliser mathématiquement la notion d'algorithme, pour pouvoir esquisser la preuve de l'existence de problèmes indécidables. On en profitera pour voir que ces problèmes indécidables se cachent en fait dans toutes les branches des mathématiques: théorie des groupes, théorie des nombres, topologie, logique, ... jusqu'à des problèmes de multiplication de matrices qui semblent pourtant élémentaires !
Jeudi 19 mars, Hervé Pajot (Institut Fourier, UGA)
Titre : Jeunesse du problème de Kakeya et quelques questions de géométrie dans le plan complexe
Résumé : En 1917, Kakeya demandait quelle est l'aire minimale pour retourner une aiguille. Au même moment, pour résoudre un problème d'analyse réelle, Besicovitch démontrait qu'il existait des ensembles d'aire nulle qui contiennent une droite dans chaque direction. Le problème initial de Kakeya était résolu, mais le problème est devenu : quelle est la dimension d'un ensemble contenant une droite dans chaque direction dans l'espace euclidien de dimension n ? Nous expliquerons la solution pour n=2, et le lien entre ce problème et diverses questions en analyse harmonique, équations aux dérivées partielles, analyse complexe, théorie géométrique de la mesure, ... En particulier, nous verrons le lien avec des problèmes "simples" de géométrie du plan, non résolus. L'exposé sera auto-contenu et sera présenté en mars au séminaire Bourbaki.
Jeudi 30 avril, Rémi Molinier (Institut Fourier, UGA)
Mercredi 3 juin, à partir de 15h : goûter de fin d'année du Magistère
Année 2024-25
17 avril 2025 – Baptiste Devyver (Institut Fourier)
Autour de l'isopérimétrie
Résumé : Le problème isopérimétrique consiste à entourer la plus grande aire possible à l'aide d'une courbe plane simple, dont la longueur est fixée. Bien que ce problème soit connu depuis l’Antiquité, une solution rigoureuse n’a été trouvée qu’à la fin du XIXe siècle. L’exposé abordera cette problématique classique, ainsi que ses généralisations possibles à des dimensions supérieures et à d’autres types d’espaces que l’espace euclidien.
20 mars 2025 – Greg Berhuy (Institut Fourier)
Anneaux à division et codes Wifi
Résumé : Le but de cet exposé est d’expliquer comment la théorie des anneaux à division intervient dans le fonctionnement des téléphones portables et des box Wifi. On verra en particulier pourquoi ces structures algébriques apparaissent naturellement dans le codage multi-antennes, et comment elles permettent de construire des codes efficaces.
20 février 2025 – Vincent Borrelli (Institut Camille Jordan, Lyon)
À la découverte des fractales lisses
Résumé : Selon Marcel Proust, la découverte consiste à avoir de nouveaux yeux plus qu’à explorer de nouveaux paysages. Cet exposé vous invite à rencontrer trois figures remarquables : John Nash, Mikhaïl Gromov et Benoît Mandelbrot. À travers leurs regards singuliers, nous découvrirons une nouvelle classe d’objets mathématiques fascinants : les fractales lisses.
30 janvier 2025 – Erwan Lanneau (Institut Fourier)
Billards mathématiques et flots linéaires sur les surfaces
Résumé : Que se passe-t-il si l’on joue au billard sur une table de forme non rectangulaire ? Les billards mathématiques modélisent ce type de situation et mènent à des questions profondes de physique et de géométrie. L’exposé mettra en lumière le lien entre ces systèmes dynamiques et les espaces de modules, tout en montrant comment (théoriquement) gagner à tous les coups au billard rectangulaire !
12 décembre 2024 – Hugo Vanneuville (Institut Fourier)
Une introduction à la percolation
Résumé : Considérons un grand carrelage et colorions aléatoirement les carreaux en noir ou blanc, avec une certaine probabilité. Une question naturelle se pose : observe-t-on un grand continent noir, ou seulement des petites îles ? Cette problématique est liée à un phénomène de transition de phase. L’exposé proposera une introduction visuelle et accessible à ces questions probabilistes.
28 novembre 2024 – Nadia Brauner Vettier (G-SCOP)
La Recherche Opérationnelle : à l'interface des mathématiques et de l'informatique pour aider à prendre des décisions
Résumé : La Recherche Opérationnelle (RO) applique des méthodes mathématiques et informatiques à la résolution de problèmes d’optimisation issus du monde réel. Après un aperçu historique, l’exposé montrera comment modéliser des situations concrètes (organisation de tournées, emploi du temps, implantation de sites...) à l’aide d’outils comme la théorie des graphes ou la programmation linéaire. Nous conclurons par un aperçu des métiers liés à la RO.
7 novembre 2024
Goûter du magistère
17 octobre 2024 – Emmanuel Peyre (Institut Fourier)
Statistique diophantienne
Résumé : L’étude des solutions entières ou rationnelles d’équations polynomiales remonte à Diophante. À première vue, ce sujet paraît purement arithmétique et éloigné de la probabilité. Pourtant, on observe une répartition apparemment aléatoire des solutions, une fois éliminées les solutions triviales. L’exposé visera à expliquer ce phénomène à travers le prisme de la « statistique diophantienne ».
Année 2023/24
18 avril 2024
Francis Lazarus – Promenade plane et graphique
Résumé : Cet exposé explore les aspects graphiques du plan, nous conduisant au pays des mineurs à travers une promenade mathématique.
7 mars 2024
Annamaria Iezzi – Alice au pays post-quantique
Résumé : Ce séminaire raconte l'histoire d'Alice, qui découvre un monde où les ordinateurs quantiques résolvent certains problèmes exponentiellement plus vite que les ordinateurs classiques. Pour communiquer secrètement avec Bob, elle doit inventer de nouveaux outils cryptographiques adaptés à ce contexte post-quantique.
15 février 2024
Ana Rechtman – Chaos et le problème de Poincaré en dynamique céleste
Résumé : Présentation du fer à cheval de Smale, un système dynamique chaotique défini dans un carré. Bien compris aujourd’hui, il apparaît dans des systèmes plus complexes, illustrant le chaos dans la dynamique céleste.
1 février 2024
Charline Smadi – Probabilités et évolution : le rôle du taux de mutation
Résumé : Cet exposé montre comment modéliser l'évolution des populations avec des processus stochastiques, en mettant en avant l'importance du taux de mutation dans l'évolution des nouvelles mutations.
7 décembre 2023
Tanguy Rivoal – Comment mesurer l'irrationalité d'un nombre réel ?
Résumé : Exploration de la mesure de l’irrationalité d’un nombre réel x, en étudiant si la différence |x - p/q| peut être bornée par une fonction de p et q. Résultats pour les nombres algébriques, e, ln(2), π et autres nombres classiques.
9 novembre 2023
Jean-Baptiste Meilhan – Petit aperçu des mathématiques de la Chine antique
Résumé : Survol des Neuf Chapitres sur l’Art Mathématique, un ouvrage de référence en Asie du Sud-Est pendant près de 20 siècles. Analyse de problèmes choisis pour comparer les mathématiques chinoises à la culture occidentale, avec une réflexion sur l’usage de l’histoire des mathématiques dans l’enseignement.
12 octobre 2023
Pierre Py – Graphes, laplacien et expanseurs
Résumé : Introduction au laplacien d’une fonction définie sur les sommets d’un graphe fini, exploration de la relation entre les valeurs propres du laplacien et la géométrie du graphe, avec des notions comme la constante de Cheeger, les graphes expanseurs et la propriété T de Kazhdan.
Année 2022/23
27 avril 2023
Damien Gayet – Polynômes et percolation, une étonnante association
Résumé : Non fourni.
9 mars 2023
Samuel Lelièvre – Diplotores : tores plats polyédraux dans l’espace à trois dimensions
Résumé : Présentation des tores plats polyédraux, peu connus mais étudiés depuis les années 1970. Les diplotores d’Ulrich Brehm permettent de réaliser tous les tores plats via des découpages de parallélogrammes. Introduction aux plongements isométriques et à la théorie des espaces de modules des tores, avec une invitation à plier son propre tore polyédral.
23 février 2023
Romain Joly – Dynamiques génériques
Résumé : Étude des dynamiques typiques des équations différentielles x'(t)=f(x(t)), en classifiant les comportements pour presque toutes les fonctions f. Discussion sur la quantification de la "rareté" des phénomènes, les dynamiques stables, les bifurcations et le théorème de Sard.
26 janvier 2023
Adeline Leclercq Samson – Modèles stochastiques et statistiques en écologie marine
Résumé : Analyse de l’impact des activités humaines sur les narvals au Groenland à l’aide de modèles stochastiques (processus ponctuel avec mémoire, variabilité inter-individus, processus de diffusion hypoelliptique) et des problématiques d’estimation statistique.
8 décembre 2022
Vanessa Vitse – Introduction à la cryptographie, ou quand les mathématiques se mettent au service de la protection de l’information
Résumé : Présentation des principes de la cryptographie, de ses applications et de son évolution, des systèmes de chiffrement simples aux systèmes modernes robustes. Discussion sur les objets mathématiques sous-jacents et les thèmes de recherche actuels.
24 novembre 2022
Andrea Seppi – Une preuve géométrique du problème de Bâle
Résumé : Démonstration géométrique que la somme de 1/n² (n>0) vaut π²/6, en lien avec les "amibes", un outil d’analyse complexe développé depuis les années 2000.
27 octobre 2022
Pierre Dehornoy – Dans quel monde vit-on ? Une introduction à la topologie géométrique
Résumé : Exploration des formes possibles de l’univers à travers la classification des variétés de dimension 3, des conjectures de Poincaré et Thurston au théorème de Perelman, remettant en question l’idée que l’univers ressemble à ℝ³.
Année 2021/22
7 avril 2022
Gérard Besson (Institut Fourier) – Phénomènes de concentration en géométrie et applications
Résumé : Étude des suites d’objets géométriques en dimension croissante, initiée par Émile Borel et Paul Lévy. Exemples simples comme la sphère et le cube, avec des applications aux matrices aléatoires et au traitement des données massives.
17 mars 2022
Éric Blayo (Laboratoire Jean Kuntzmann) – Modélisation mathématique et simulation numérique de systèmes physiques
Résumé : Introduction aux concepts de modélisation et de simulation, appliqués à des domaines variés, des hautes technologies à la vie quotidienne, illustrant l’omniprésence des mathématiques.
10 février 2022
Cécilia Lancien (Institut Fourier) – Graphes expanseurs : Comment un réseau où les nœuds sont individuellement peu connectés peut-il être globalement très connecté ?
Résumé : Définition rigoureuse des graphes expanseurs, exploration de leurs propriétés via des perspectives géométrique et analytique, et étude des marches aléatoires convergeant rapidement vers l’équilibre. Applications en théorie de la complexité, cryptographie et modélisation de réseaux.
18 novembre 2021
Boris Thibert (Laboratoire Jean Kuntzmann) – Équations de Monge-Ampère et optique non-imageante
Résumé : Présentation de l’optique non-imageante, qui vise à transférer l’énergie lumineuse d’une source à une cible via des équations de Monge-Ampère non linéaires. Résolution numérique par la théorie du transport optimal pour concevoir des composants optiques.
14 octobre 2021
Francis Lazarus (G-SCOP et Institut Fourier) – Plongements de surfaces polyédrales
Résumé : Étude des patrons de surfaces polyédrales, comme un carré formant un tore par identification des côtés. Construction de Burago et Zalgaller pour réaliser un modèle tridimensionnel fidèle à la géométrie de la surface.
Année académique 2020/21
15 avril 2021
Sara Checcoli (Institut Fourier) – Une balade, en hauteur, autour des zéros de polynômes
18 mars 2021
Olivier François (TIMC IMAG) – Le pangolin est innocent mais il n’y aura pas de gâteau après le séminaire
4 février 2021
Jean-Baptiste Meilhan (Institut Fourier) – Un petit aperçu de la théorie des nœuds
21 janvier 2021
Vanessa Vitse (Institut Fourier) – Introduction à la cryptographie, ou quand les mathématiques se mettent au service de la protection de l’information
10 décembre 2020
Frédéric Mouton (Lycée Berthollet) – Opération Casse-têtes
12 novembre 2020
Nadia Brauner (G-SCOP) – La Recherche Opérationnelle : des mathématiques pour la décision
15 octobre 2020
Hervé Pajot (Institut Fourier) – Le problème de Plateau est-il résolu ?
Année 2019/20
12 mars 2020
Christophe Leuridan – Propriétés de la suite définie par xn = nθ mod 1
6 février 2020
Laurent Hauswirth (Université Marne-la-Vallée) – De la géométrie en architecture et structures
19 décembre 2019
Boris Thibert – Problèmes inverses en optique anidolique et transport optimal
14 novembre 2019
Dietrich Häfner – Les défis mathématiques de la relativité générale
17 septembre 2019
Andrés Navas (Université de Santiago de Chile) – Le carré magique de Khajuraho et les symétries de l’hypercube
Année 2018/19
11 avril 2019
Vanessa Vitse – Introduction à la cryptographie, ou quand les mathématiques se mettent au service de la protection de l’information
14 mars 2019
Jean Fasel – Modules projectifs
21 février 2019
Sylvain Courte – Courbes legendriennes et géométrie de contact
31 janvier 2019
Gregory Berhuy – Similitude de matrices entières et idéaux
6 décembre 2018
Yves Colin de Verdière – Réseaux électriques planaires
8 novembre 2018
Evelyne Miot – Dynamique des tourbillons dans les fluides
4 octobre 2018
Pierre Dehornoy – Dans quel monde vit-on ? Une introduction à la topologie géométrique
27 septembre 2018
Jobst Landgrebe – L’intelligence artificielle : définition, fonctions et applications
Quelques séminaires des années antérieures
19 octobre 2017
Emmanuel Peyre – Des entiers au hasard
Résumé : Étude des équations diophantiennes et de leur lien avec les probabilités, montrant que les entiers se comportent de manière aléatoire, illustré par des exemples explicites.
13 octobre 2016
Emmanuel Trélat – Tout est sous contrôle : les mathématiques optimisent le quotidien
Résumé : Présentation de la théorie du contrôle, ses applications (créneau, fusées, missions spatiales) et son rôle dans l’optimisation des systèmes.
17 mars 2016
Vincent Beffara – Quelques questions autour des marches aléatoires
Résumé : Analyse des marches aléatoires sur ℤᵈ, avec leurs comportements (retour à l’origine en d=1,2 ; échappée à l’infini en d>2) et des questions ouvertes sur des variantes avec mémoire.
8 octobre 2015
Jean-Pierre Demailly – Bulles de savon, équations d’Einstein et structure de l’espace-temps
Résumé : Exploration du rôle de la courbure dans les films de savon, la structure de l’univers et les interactions physiques, avec un accent sur les états d’équilibre à courbure nulle.