ATTENTION: à partir de janvier 2026 le séminaire du magistère aura lieu (un jeudi par mois) de 16h30 à 17h30, en salle 18, au rez-de-chaussée de l’Institut Fourier.
 

Programme de l'année 2025-2026

  • Jeudi 25 septembre, Rentrée du séminaire : exposé de Sara Checcoli (Institut Fourier, UGA) et discussion autour du programme de l'année.

Titre : Petits points... gros problèmes

Résumé : Qu’est-ce qu’un nombre algébrique ? C’est un nombre complexe qui est racine d’un polynôme non nul à coefficients rationnels.

Parmi ces nombres, certains sont « plus simples » que d’autres sue le plan arithmétique. Pour quantifier cette idée, on utilise la hauteur, une fonction prenant des valeurs réelles non négatives.

Le théorème de Kronecker nous permet de caractériser exactement les nombres algébriques de hauteur nulle : il s’agit de 0 et des racines de l’unité. Mais que dire des nombres dont la hauteur est petite, mais non nulle ?

C’est là qu’apparaissent des questions encore largement ouvertes. On peut construire des suites de nombres algébriques dont la hauteur tend vers zéro, mais seulement au prix d’une croissance rapide de leurs degrés (où le degré d'un nombre algébrique est défini comme celui du polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont le nombre est racine).

C’est précisément dans ce contexte que Lehmer, en 1933, a posé la question la plus célèbre : si l’on prend un nombre algébrique de hauteur non nulle, le produit de son degré par sa hauteur est-il toujours borné inférieurement par une constante positive indépendante du nombre choisi ? Cette question, connue sous le nom de problème de Lehmer, est encore ouverte dans le cas général.

Dans cet exposé, je vous présenterai ce problème, ainsi que les idées essentielles derrière le meilleur résultat inconditionnel connu, dû à Dobrowolski.

Quelques lectures post séminaire :

  • "Lecture notes in Diophantine Analysis" (2nd edition) par U. Zannier. EMS Series of Lectures in Mathematics. Volume: 36; 2024; 411 pp
  • "Around the unit circle" par J. McKee and C. Smyth, Springer Universitext

  • Jeudi 16 octobre, Evelyne Miot (Institut Fourier, UGA & CNRS)

Titre : Dynamique des tourbillons dans les fluides

Résumé :  Le but de cet exposé sera de présenter quelques aspects mathématiques de l'étude de la dynamique des tourbillons dans les fluides. En pratique, ces tourbillons ("vortex") sont fréquemment observés : ronds de fumée formés par les éruptions volcaniques, tourbillons issus des sillages des avions...
On introduira les équations d'Euler qui modélisent l'évolution de ces tourbillons, en se focalisant sur le cas de deux ou trois tourbillons ponctuels.

  • Jeudi 20 Novembre, Catriona Maclean (Institut Fourier, UGA)

Titre : Tores, courbes, et séries entières

Résumé : Une légende indienne parle de 6 aveugles qui doivent décrire l'éléphant qu'ils viennent de caresser. L'un pense avoir tâté un mur, l'autre un serpent, encore un autre un tronc d'arbre et ainsi de suite en fonction de la partie de l'animal qu'ils ont attrapée.

Dans cet exposé je parlerai de mon éléphant à moi qui au gré de son humeur du jour  se présente comme :

* un réseau de C à homothétie complexe près
* une structure complexe sur un donut
* une courbe définie par une équation cubique.

  • Jeudi 18 décembre, Pie Day du Magistère

Exceptionnelement à la cafète de l'IF à partir de 16h15. Une vidéo avec quelques photos des créations (merci @Lila !) est disponible dans un onglet en bas de la page 

Jeudi 29 janvier, Vincent Beffara (Institut Fourier, UGA & CNRS)
 

Titre : La marche aléatoire auto-évitante

Résumé : Sur le réseau $\mathbb Z^2$, on peut considérer l'ensemble de tous les chemins $(X_0=0,\ldots, X_n)$ de longueur $n$ issus de l'origine, il est très bien compris : son cardinal est $4^n$, et un élément pris dedans selon la loi uniforme correspond exactement à la trajectoire d'une marche aléatoire simple ; en particulier son diamètre est d'ordre $\sqrt{n}$ par le théorème central limite, et quand on fait tendre $n$ vers l'infini en faisant un zoom de facteur $n^{-1/2}$, on obtient la trajectoire d'un mouvement brownien.

Un chemin auto-évitant est un chemin $(X_0=0, \ldots, X_n)$ de longueur $n$, issu de l'origine, mais tel que tous les $X_i$ soient distincts. Les objets mathématiques dont je vais parler sont d'une part l'ensemble $\Omega_n$ de tous les chemins auto-évitants de longueur $n$ sur un réseau (pas forcement $\mathbb Z^2$), et d'autre part la marche aléatoire auto-évitante qui est un élément de $\Omega$ tiré selon la loi uniforme. C'est un bon résumé de l'état de l'art sur ces objets de dire qu'ils ne sont essentiellement pas compris du tout ! On sait que $|\Omega_n|$ croît exponentiellement comme $\mu^n$ mais on ne connaît pas la valeur de $\mu$, on ne sait même pas que $|\Omega_n|$ croît avec $n$ ... et on conjecture que le diamètre d'un élément typique de $\Omega_n$ est d'ordre $n^{3/4}$, mais on est loin de savoir le prouver.

Je ferai un tour d'horizon de ce qu'on sait prouver, de ce qu'on conjecture, de ce qu'on sait faire pour des modèles voisins, et des raisons pour lesquelles on s'intéresse à ces objets.

  • Jeudi 5 février, Marina Poulet (Institut Fourier, UGA)
         
Titre : De la théorie de Galois classique à la théorie de Galois différentielle
 
Résumé : L'étude des équations polynomiales par Évariste Galois a donné naissance à la théorie de Galois. La résolution de ces équations jusqu'au degré 4 est connue depuis le 16e siècle. Les approches
utilisées (changements de variables, substitutions) n'avaient pas permis de résoudre des équations de degré supérieur. Plus de deux siècles ont été nécessaires pour aller au-delà du degré 4 et obtenir un critère de résolubilité grâce à de nouvelles idées et notions : le groupe de Galois. Comment ces idées ont-elles été ensuite transposées à l'étude des solutions des équations différentielles linéaires ? Quelles informations un groupe de Galois différentiel peut-il fournir ? Nous ferons un détour par l'analyse, avec des prolongements le long de chemins, pour construire des éléments de ce groupe. En résumé, je vous propose une petite balade de la théorie de Galois classique à la théorie de Galois différentielle en passant de l'algèbre à l'analyse pour vous faire découvrir une partie de l'étendue de cette théorie.

  • Jeudi 5 mars, Etienne Moutot (Institut Fourier, UGA & CNRS)
         TBA

  • Jeudi 19 mars, Hervé Pajot (Institut Fourier, UGA)

Titre : Jeunesse du problème de Kakeya et quelques questions de géométrie dans le plan complexe

Résumé : En 1917, Kakeya demandait quelle est l'aire minimale pour retourner une aiguille. Au même moment, pour résoudre un problème d'analyse réelle, Besicovitch démontrait qu'il existait des ensembles d'aire nulle qui contiennent une droite dans chaque direction. Le problème initial de Kakeya était résolu, mais  le problème est devenu : quelle est la dimension d'un ensemble contenant une droite dans chaque direction dans l'espace euclidien de dimension n ? Nous expliquerons la solution pour n=2, et le lien entre ce problème et diverses questions en analyse harmonique, équations aux dérivées partielles, analyse complexe, théorie géométrique de la mesure, ... En particulier, nous verrons le lien avec des problèmes "simples" de géométrie du plan, non résolus. L'exposé sera auto-contenu et sera présenté en mars au séminaire Bourbaki.

  • Jeudi 30 avril, Rémi Molinier (Institut Fourier, UGA)
         TBA
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