Le séminaire du magistère a lieu un jeudi par mois, de 16h15 à 17h15, en salle 1, au rez-de-chaussée de la tour IRMA (le bâtiment en face de l’Institut Fourier).
Programme de l'année 2025-2026
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Jeudi 25 septembre, Rentrée du séminaire : exposé de Sara Checcoli (Institut Fourier, UGA) et discussion autour du programme de l'année.
Titre : Petits points... gros problèmes
Résumé :
Qu’est-ce qu’un nombre algébrique ? C’est un nombre complexe qui est racine d’un polynôme non nul à coefficients rationnels.
Parmi ces nombres, certains sont « plus simples » que d’autres sue le plan arithmétique. Pour quantifier cette idée, on utilise la hauteur, une fonction prenant des valeurs réelles non négatives.
Le théorème de Kronecker nous permet de caractériser exactement les nombres algébriques de hauteur nulle : il s’agit de 0 et des racines de l’unité. Mais que dire des nombres dont la hauteur est petite, mais non nulle ?
C’est là qu’apparaissent des questions encore largement ouvertes. On peut construire des suites de nombres algébriques dont la hauteur tend vers zéro, mais seulement au prix d’une croissance rapide de leurs degrés (où le degré d'un nombre algébrique est défini comme celui du polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont le nombre est racine).
C’est précisément dans ce contexte que Lehmer, en 1933, a posé la question la plus célèbre : si l’on prend un nombre algébrique de hauteur non nulle, le produit de son degré par sa hauteur est-il toujours borné inférieurement par une constante positive indépendante du nombre choisi ? Cette question, connue sous le nom de problème de Lehmer, est encore ouverte dans le cas général.
Dans cet exposé, je vous présenterai ce problème, ainsi que les idées essentielles derrière le meilleur résultat inconditionnel connu, dû à Dobrowolski.
Quelques lectures post séminaire :
- "Lecture notes in Diophantine Analysis" (2nd edition) par U. Zannier. EMS Series of Lectures in Mathematics. Volume: 36; 2024; 411 pp
- "Around the unit circle" par J. McKee and C. Smyth, Springer Universitext
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Jeudi 16 octobre, Evelyne Miot (Institut Fourier, UGA & CNRS)
Titre : Dynamique des tourbillons dans les fluides
Résumé :
Le but de cet exposé sera de présenter quelques aspects mathématiques de l'étude de la dynamique des tourbillons dans les fluides. En pratique, ces tourbillons ("vortex") sont fréquemment observés : ronds de fumée formés par les éruptions volcaniques, tourbillons issus des sillages des avions...
On introduira les équations d'Euler qui modélisent l'évolution de ces tourbillons, en se focalisant sur le cas de deux ou trois tourbillons ponctuels.
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Jeudi 20 Novembre, Catriona Maclean (Institut Fourier, UGA)
Titre : À venir