Vous trouverez ici la liste des cours de la première année du Magistère. La page Moodle de chaque cours, avec le matériel pédagogique et les informations mises à jours par les enseignant.e.s se trouve en bas (et elle est accéssible seulement par les étudiant.e.s inscrit.e.s aux magistère).

Compléments d’algèbre

Ce cours est composé de deux parties indépendantes mais complémentaires, portant sur des aspects fondamentaux de l’arithmétique et de la théorie des nombres.

Partie I – Arithmétique modulaire

Responsable : Vanessa Vitse (📨 vanessa.vitse@univ-grenoble-alpes.fr)

Ce module approfondit des notions d’arithmétique vues (ou survolées) en licence, avec des applications directes à la cryptographie.

📌 Résumé

• Anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

• Rappels sur les groupes cycliques

• Groupe multiplicatif $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}$ : théorèmes de Lagrange et de Fermat, test de primalité de Fermat, application au cryptosystème RSA

• Résidus quadratiques :

  • symboles de Legendre et de Jacobi

  • loi de réciprocité quadratique

  • applications cryptographiques : chiffrement GM, générateur pseudo-aléatoire BBS

📖 Références

• Cours d’algèbre – Perrin

• Cours de cryptographie – Gilles Zémor

Partie II – Carrés

Responsable : Roland Bacher (📨 roland.bacher@univ-grenoble-alpes.fr)

📌 Résumé

• Les nombres premiers (preuves de leur infinitude : variantes d’Euclide, preuves d’Euler, de Fürstenberg, par des polynômes, etc. ; énoncé du théorème des nombres premiers)

• Les triplets pythagoriciens et les entiers de Gauss (et éventuellement les triangles héroïques)

• La factorisation

• Diverses démonstrations du théorème de Girard–Fermat (via les partitions, les graphes, les réseaux)

• Le théorème de Lagrange sur la somme de quatre carrés (avec une preuve basée sur la densité des réseaux)

• Une introduction aux quaternions (et possiblement aux octonions)

📖 Références

• Raisonnements divins – Aigner & Ziegler

• Tout manuel introductif de théorie des nombres

Topologie algébrique

Responsable du cours : Delphine Moussard (📨 delphine.moussard@univ-grenoble-alpes.fr)

📌 Résumé

• Introduction au groupe fondamental : groupe associé à un espace topologique (ou métrique), invariant par homéomorphisme. Il permet de distinguer des espaces, par exemple de justifier qu’une sphère n’est pas homéomorphe à un tore.

• Étude des revêtements : applications continues que l’on peut voir comme des projections topologiques, en lien étroit avec le groupe fondamental.

• Méthodes de calcul des groupes fondamentaux : par les revêtements et par le théorème de Van Kampen.

🌀 Prérequis

Cours de topologie des espaces métriques du premier semestre.

Voici les pages Moodles des cours (accéssibles seulement par les étudiant.e.s inscrit.e.s aux magistère):