Processus de Markov

Le cours est divisé en deux parties.

Dans la première partie, nous prolongerons l'étude des chaînes de Markov débutée au premier semestre. Nous établirons notamment des liens entre les propriétés de ces objets aléatoires et des propriétés de nature algébrique ou géométrique :

• Nous étudierons la vitesse de convergence vers la mesure invariante pour les chaînes ergodiques, notamment en fonction du spectre de la matrice de transition.
• Nous considérerons des marches aléatoires sur des graphes et étudierons leur comportement en fonction des propriétés géométriques de ceux-ci.

La deuxième partie sera consacrée à des processus à temps continu, à savoir les chaînes de Markov à temps continu, en nous concentrant particulièrement sur les processus de Poisson, qui peuvent être vus comme des ensembles aléatoires de points. Le cours comprendra de nombreux exemples tels que les files d'attentes. Nous terminerons par une introduction au mouvement brownien. Ce processus de Markov à temps et espace d'états continus est la limite d'échelle des marches aléatoires et joue un rôle central dans la théorie des probabilités.