🔢 Compléments d’Algèbre

Ce cours est composé de deux parties indépendantes mais complémentaires, portant sur des aspects fondamentaux de l'arithmétique et de la théorie des nombres.

🧮 Partie I – Arithmétique modulaire

Responsable : Vanessa Vitse (📨 vanessa.vitse@univ-grenoble-alpes.fr)
Volume horaire : 11h30
Examen : 1h d'épreuve écrite

Ce module approfondit des notions d’arithmétique vues (ou survolées) en licence, avec applications directes à la cryptographie.

Thèmes abordés :

  • Anneau ℤ/nℤ

  • Rappels sur les groupes cycliques

  • Groupe multiplicatif ℤ/nℤ×, théorèmes de Lagrange et de Fermat, test de primalité de Fermat, application : cryptosystème RSA

  • Résidus quadratiques :
    → symboles de Legendre et de Jacobi
    → loi de réciprocité quadratique
    → applications cryptographiques : chiffrement GM, générateur pseudo-aléatoire BBS

Références :

  • Cours d’algèbre de Perrin

  • Cours de cryptographie de Gilles Zémor

🔷 Partie II – Carrés

Responsable : Roland Bacher (📨 roland.bacher@univ-grenoble-alpes.fr)
Volume horaire : 11h30
Évaluation : Interrogation d’une heure lors de la dernière séance, avec des questions à la fois algorithmiques et sur la compréhension des démonstrations vues en cours.

Ce module est centré sur le théorème de (Girard-)Fermat caractérisant les entiers qui s’écrivent comme somme de deux carrés.

Thèmes abordés :

  • les nombres premiers (avec différentes preuves de leur infinitude : variantes d’Euclide, preuves d’Euler, de Fürstenberg, par des polynômes, etc., ainsi qu’un énoncé du théorème des nombres premiers)

  • les triplets pythagoriciens et les entiers de Gauss (éventuellement aussi les triangles héroïques)

  • la factorisation

  • diverses démonstrations du théorème de Girard-Fermat (via les partitions, les graphes, les réseaux)

  • le théorème de Lagrange sur la somme de quatre carrés (avec une preuve basée sur la densité des réseaux)

  • une introduction aux quaternions (et possiblement aux octonions)

Références :

  • Raisonnements divins – Aigner & Ziegler

  • Tout manuel introductif de théorie des nombres

🧾 Note finale

La note finale est la moyenne des notes obtenues aux parties I et II.